量化球隊入球的穩定度

8月1日
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2023/24 球季的英超,Fulham 與 Brighton 的場均入球都貼近中游水平,但兩隊給人的觀感截然不同:一場大勝之後接連兩場零封,起伏極大。同一球季的 Liverpool 場均入球超過兩球,卻全季未曾單場入過五球,穩定得近乎沉悶。這種「期望值相近、波動不同」的分別,標準 Poisson 入球模型在結構上並不能捕捉。

Nick Zhang、Riccardo Rastelli 與 Nial Friel(University College Dublin,arXiv:2607.18009v1)提出 CMP-SAS 模型:以 Conway-Maxwell-Poisson likelihood 取代 Poisson,再為每隊的 dispersion 參數加上 spike-and-slab prior,把「入球有多穩定」由一項假設變成可以估計、可以檢驗的參數。

本文重點

這篇論文要處理的問題,不是如何預測入球數,而是如何判斷一隊的入球分布究竟符不符合 Poisson。作者把 equidispersion(均值等於變異數)明確設為 baseline regime,再借 spike-and-slab 結構輸出每隊偏離 Poisson 的後驗機率,同時估計偏離的幅度與方向。

結果是一個兼具統計嚴謹性與足球解讀力的框架。Fulham 一類球隊會被識別為 over-dispersed(入球飄忽),Nottingham Forest 一類會被識別為 under-dispersed(入球穩定),而大部分球隊仍然留在 Poisson 的世界。

一、Poisson 的隱藏假設:equidispersion

足球入球模型的主流做法,自 Moroney(1951)起就是 Poisson,理由也合理:入球屬於低頻離散事件。但 Poisson 附帶一項經常被忽略的約束,就是均值必須等於變異數。

文獻上處理這項約束的方向包括 Negative Binomial(只能處理 over-dispersion)以及 bivariate Weibull count model(可以雙向處理)。不過在高度聚合的數據上,例如把全聯賽的主客入球合併計算,兩者通常都得出「沒有顯著 dispersion」的結論。

本文的切入點在於改變聚合的粒度:不再合併全聯賽,而是逐隊統計全季入球頻率。在這個粒度之下,球隊之間的 dispersion 差異就相當明顯。

二、CMP:Poisson 多一個旋鈕

Conway-Maxwell-Poisson 是 Poisson 的兩參數推廣。按 Guikema 與 Goffelt(2008)的參數化,概率質量函數為:

f(y | μ, ν) = (μ^y / y!)^ν / 𝒵(μ, ν),其中 𝒵(μ, ν) = Σₓ (μ^x / x!)^ν

分布的行為完全由 ν 控制。ν = 1 時退化成 Poisson,即 equidispersion;ν < 1 時尾部變重,屬 over-dispersion(變異數大於期望);ν > 1 時則屬 under-dispersion(變異數小於期望)。

近似關係 Var(Y) ≈ μ / ν 已經足夠建立直覺:ν 就是一個壓縮或放大波動的旋鈕。代價在於分母的 𝒵(μ, ν) 沒有 closed form,即所謂 intractable normalizing constant,第五節會說明它為何令 MCMC 變得棘手。

三、Spike-and-slab:把 Poisson 當成 baseline,而非前提

Spike-and-slab prior 傳統上用於 regression 的變數選擇:spike 是集中在 0 的點質量,代表剔除該變數;slab 是擴散分布,代表保留。

本文換掉了這個結構的語意。Spike 不再代表「沒有效應」,而是代表 reference regime,也就是 equidispersion。具體做法是引入球隊層面的二元指標 Zᵢ 與輔助參數 ηᵢ:

νᵢ = exp(Zᵢ · ηᵢ)

Zᵢ = 0 時 νᵢ = 1,對應 Poisson(spike);Zᵢ = 1 時 νᵢ = exp(ηᵢ),對應 CMP(slab)。由於 ηᵢ ~ Normal(0, σ²_η),slab 部分就是一個以 1 為中心的 LogNormal,雙向容許 over 與 under-dispersion。

這個設計最實用的產物是 P(Zᵢ = 1 | Y),即每隊屬於非 equidispersion regime 的後驗機率。有了機率,分類就可以用 threshold 處理,而不必硬性判定。

四、模型結構:Maher 骨架加上進攻方 dispersion

參數化沿用 Maher(1982)的 log-linear 骨架,再加入 dispersion:

y^H_{i,j} ~ CMP(μ^H_{i,j}, νᵢ),log μ^H_{i,j} = αᵢ + βⱼ + γ

y^A_{j,i} ~ CMP(μ^A_{j,i}, νⱼ),log μ^A_{j,i} = αⱼ + βᵢ

αᵢ 與 βᵢ 分別是球隊 i 的 log 攻擊與防守參數,γ 是全聯賽共用的 log 主場優勢。

關鍵的設計決定是把 dispersion 綁定在入球的一方,而不是綁定於比賽或對手。這樣 νᵢ 可以直接讀成球隊 i 入球行為的一致性,與球隊風格或戰術取向掛鈎。

兩隊入球之間,本文沿用 Baio 與 Blangiardo(2010)的 conditional independence 假設。Florez 等(2025)以 correlation random effect 建模比賽層面的相關性,本文則選擇較精簡的參數化,原因是 out-of-sample 預測要處理未觀測的新比賽,額外的相關結構往往推廣得不好。

五、doubly-intractable:MCMC 的難處

由於 CMP 的 normalizing constant 沒有 closed form,後驗屬於典型的 doubly-intractable 問題。MCMC 解決了 model evidence 那一重,但 Metropolis-Hastings 的接受率仍然要計 𝒵(θ) 與 𝒵(θ*) 之比。

作者沿用 Benson 與 Friel(2021)的路線,採用 Exchange algorithm:每次提案時,先由提案參數模擬一組 auxiliary data y′ ~ f(·|θ*),代入接受率之後,四個 𝒵 項會兩兩相消,餘下的全部是可以直接計算的 unnormalized likelihood。Auxiliary 樣本由 rejection sampler 抽取,而 rejection sampler 所需的抽樣次數又可以反過來構造 likelihood 的無偏估計,供 WAIC 之類指標使用。

另有兩項工程細節值得留意。

Sum-to-zero 約束。 攻防參數本身不可識別,所有 α 同時加一個常數、β 同時減同一常數,likelihood 不變,因此要強制 Σαᵢ = 0 與 Σβᵢ = 0。為了保持提案的對稱性,實作上在 N−1 維超平面更新,最後一隊的參數由約束決定。

α 與 η 聯合更新。 在實際的參數區域,μ 與 ν 的 log-likelihood 等高線呈正相關,亦即 αᵢ 與 ηᵢ 相關。作者用相關係數 ρ = 0.85 的二元 Gaussian 提案把兩者一併 propose、一併接受或拒絕,mixing 改善明顯。

整體算法是 Metropolis-within-Gibbs:p 有共軛 full conditional 可以直接抽樣,其餘參數走 Exchange 版本的 MH。把所有 Zᵢ 固定為 1 就得到 CMP-Full(純 slab),全部固定為 0 就退回 Poisson baseline,三個模型共用同一套 sampler,比較時較為乾淨。

六、模擬:多大的 dispersion 才捕捉得到

模擬設定 20 隊聯賽,一半 equidispersed,一半真實 νᵢ = k(0.2 ≤ k ≤ 4)。以 E[P(Zᵢ = 1|Y)] > 0.5 作分類規則,識別能力如下:

False Positive 率在全部設定下都穩定在一成左右,不隨 k 變化,與預期一致。

有一項實用細節必須留意:equidispersed 球隊的 P(Zᵢ = 1|Y) 不會跌至 0,而是停在 0.25 附近。原因是 p 與 η 採用扁平 prior、樣本量偏小(一季 38 場),加上 slab 本身就以 spike 的位置為中心。所以讀到 0.25 應當理解為「沒有證據」,而不是「有四分之一機會屬於非常規」。

模型擬合方面,在極端 dispersion 之下,兩個 CMP 模型都大幅勝過 Poisson;接近 equidispersion 時 Poisson 最好,但 CMP-SAS 幾乎沒有損失,CMP-Full 則明顯衰退。至於中度 dispersion(ν ∈ {0.6, 2})這個最難的區間,CMP-SAS 在所有重複實驗中都勝出。換言之,spike-and-slab 換來的不只是 flexibility,更重要的是 robustness。

七、EPL 2023/24:Fulham 個案

2023/24 是英超入球最多的一季,380 場共 1,246 球,場均約 3.28。模型跑 250,000 次迭代、棄去 50,000 作 burn-in,在 0.5 threshold 之下識別出三隊 over-dispersed(Fulham、Brighton、Wolves)與一隊 under-dispersed(Nottingham Forest)。

最戲劇性的是 Fulham。在 Poisson 模型之下,它的攻擊參數約 −0.1,屬於平平無奇;在 CMP-SAS 之下卻變成 −1.8,全聯賽最差,而 dispersion 後驗均值只有 0.323,P(Z=1|Y) 高達 0.94,屬極度 over-dispersed。

兩個數字並不矛盾,分別來自參數分工。Fulham 的入球分布同時有大量零封場次與不少三球以上的場次;Poisson 只能用一個稍高的 μ 去平均這種行為,CMP-SAS 則把「入球多」歸因於重尾(較小的 ν),再把 baseline 進攻水平估得低。因此在 CMP-SAS 之下,攻擊參數不能再獨立解讀,必須連同 dispersion 一起看。

反方向的例子是 under-dispersed 球隊。相對 Poisson,它們的攻擊參數會被估高,反映入球數集中在眾數附近。足球上的解釋可以是領先之後轉打保守。Liverpool 場均入球逾兩球,但全季從未單場入超過四球,正屬此類,P(Z=1|Y) 為 0.46,在 0.4 threshold 之下會被納入。

擴展至 2020/21 以至 2024/25 五個球季,每季大致有三隊越過 threshold,2023/24 有四隊,而且以 over-dispersion 為主,與英超屬高入球聯賽的特性吻合。Liverpool 五季之中有三季被判為非 equidispersion,但方向有變,可能反映戰術轉型;其餘球隊普遍沒有跨季延續性,唯一例外是 Nottingham Forest 連續兩季 under-dispersed。

八、模型比較:WAIC 與 Ignorance Score

In-sample 採用 WAIC 而非 DIC,因為 spike-and-slab 令 dispersion 的後驗呈多峰,均值不足以概括分布。五個球季的結果一致:

Out-of-sample 的評估方式值得借鏡:由半季開始,每次只用該輪之前的所有比賽推斷參數,預測下一輪 10 場,逐輪重新訓練,共 19 次訓練、190 場預測。評分採用 Ignorance Score(IGN = −log₂ f̃(y*)),跟隨 Wheatcroft(2021)偏好 local scoring rule 的立場;作者亦註明改用 RPS 結論相同。

三種市場分別評估:Match Outcome、Over-Under 2.5 與 Goal Difference。CMP-SAS 在五個球季全部都優於 Poisson,改善幅度最明顯的是 Over-Under 2.5,2023/24 由 0.974 降至 0.929。這一點合理,因為 dispersion 直接影響總入球分布的形狀。相對地,CMP-Full 的表現並不穩定,部分球季反而輸給 Poisson。

有一個具體例子可以看到差異有多實際。Manchester United 對 Fulham 一場,Poisson 給出 {pH, pD, pA} = {0.541, 0.263, 0.196},CMP-SAS 給出 {0.497, 0.233, 0.270}。實際結果是 1–2 客勝,而客勝機率相差接近八個百分點,全部來自 Fulham 的高度 over-dispersion。

九、實務意義與已知限制

以下涉及博彩市場的討論僅屬技術分析,並不構成任何投注建議;實際下注涉及重大財務風險。

平均而言,CMP-SAS 相對 Poisson 的改善屬於小幅而有系統。不過從 Fulham 的例子可見,改善並非均勻分布:對少數 dispersion 明顯的球隊,單場機率可以相差幾個百分點,而 Over-Under 與 Goal Difference 這類直接依賴入球分布形狀的市場,受影響最大。

作者亦坦白列出限制。

低估和局。 這是 conditional independence 假設的直接後果,Dixon-Coles 的相關性修正可以補足。

沒有時間權重。 目前所有歷史比賽等權處理,沒有 Dixon-Coles 式的時間衰減,未能反映近期狀態。

識別門檻。 由模擬可見,ν 在 0.6 至 1.6 這個區間的識別能力明顯下降,而一季 38 場的樣本量本身就是硬約束。

可重現性方面,數據來自 football-data.co.uk,代碼開源於 github.com/nzhang98/compoisson_goal。

總結:當穩定度變成可估計的參數

CMP-SAS 的價值,在於把一個過去隱藏在 Poisson 假設裏面的維度,也就是球隊入球的一致性,變成可以估計、可以量化不確定性、可以逐隊解讀的參數。Spike-and-slab 結構則確保這份彈性不必以 robustness 為代價:當數據真的符合 Poisson,模型會自行退回 Poisson。

框架本身並不限於足球。任何在單位層面同時可能出現 over 與 under-dispersion 的 count data 場景,例如保險索償、系統故障或需求預測,都適用同一套邏輯。

Reference

N. Zhang, R. Rastelli, N. Friel. Bayesian Conway-Maxwell-Poisson model with spike-and-slab priors for dispersed count data with application to football scores. arXiv:2607.18009v1 [stat.ME], 20 Jul 2026.
R. W. Conway, W. L. Maxwell. A queuing model with state dependent service rates. Journal of Industrial Engineering, 12, 1962.
A. Benson, N. Friel. Bayesian Inference, Model Selection and Likelihood Estimation using Fast Rejection Sampling: The Conway-Maxwell-Poisson Distribution. Bayesian Analysis, 16(3), 2021.
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