Polymarket 套利全解：價格不一致如何轉化為可量化 edge

6月6日
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Prediction market 最迷人的地方，是它把「市場相信甚麼」直接寫成價格。若一個 outcome 的 Yes share 是 42c，讀者很自然會把它理解為市場認為這件事有約 42% 機會發生。但這個直覺背後有一個重要條件：同一事件的所有互斥且完整 outcome，概率應該合計為 1。

Unravelling the Probabilistic Forest: Arbitrage in Prediction Markets 正是從這個條件出發，研究 Polymarket 上到底有多少價格不一致可以被套利。作者用市場描述、LLM dependency detection 與 Polygon on-chain execution data，估算在研究窗口內，使用者已實現約 39.6M USD 的套利利潤。

重要聲明：本文只作 prediction-market microstructure、資料工程與研究解讀用途，不構成投資、交易、博彩或法律建議。Prediction markets 受地區法規、平台條款、流動性、結算與執行風險限制；任何實證結果都不應直接視為可交易策略。

本文重點

這篇 paper 的價值，不只是說 Polymarket 有套利機會，而是把「哪些價格關係理論上應該一致」講得很清楚。作者分開兩類機會：第一是單一 condition 或同一 NegRisk market 內部的 Market Rebalancing Arbitrage；第二是多個語義相關市場之間的 Combinatorial Arbitrage。

更重要的是，作者不只找機會，還嘗試從 on-chain 成交資料反推是否有人真的執行。結果顯示，單一 condition、單一 market 與少量跨市場 pair 都有可觀 value extraction；總計約 39,587,585.02 USD，最高單一地址在這些策略中錄得約 2.01M USD 利潤。

一、為甚麼 prediction market 可以有「加錯數」

Polymarket 的基本單位是 condition。對一個二元 condition，例如「某隊會否贏冠軍」，YES 與 NO 最終只有一邊會兌付 1 USDC。理論上，如果忽略費用、滑價與資金時間成本，YES 價格加 NO 價格應該接近 1。

同一道理，若一個 market 有多個互斥且完整 outcomes，例如「誰會贏某州選舉」，所有 YES outcome 的價格合計也應該接近 1。若合計低於 1，買齊所有 outcomes 便有理論正回報；若合計高於 1，則可以透過 split / sell 或相反方向建立 overpricing trade。

問題是 Polymarket 不是一個抽象教科書市場。它是 hybrid CLOB + on-chain settlement：order matching 由平台處理，成交與 conditional token movement 會上鏈。多個市場可能描述同一事件的不同切面，例如「誰贏總統大選」、「誰贏 popular vote」、「共和黨贏多少票差」、「某州由哪一黨拿下」。這些市場之間有邏輯依賴，但價格未必同步。

這就是 paper 標題裡的 probabilistic forest：不是一棵乾淨的事件樹，而是一片由自然語言市場、條件 token、不同 liquidity pools 和不同結算規則組成的森林。

二、兩種套利：rebalancing 與 combinatorial

作者定義的第一類是 Market Rebalancing Arbitrage。最簡單情況是單一 condition：如果 YES + NO < 1，買入兩邊，最終其中一邊兌付 1；如果 YES + NO > 1，則代表相反方向有 overvaluation。這類機會也可擴展到 NegRisk market，即多個互斥 outcomes 的 YES 價格合計偏離 1。

第二類是 Combinatorial Arbitrage。這不只看同一 market 內部，而是看兩個 market 的 outcome subsets 是否有邏輯依賴。例如一個市場問「民主黨是否贏得某州」，另一個問「民主黨是否以 3% 至 4% 勝出」。後者如果為真，前者必然為真；若兩邊價格沒有反映這個 implication，就可能構造一組至少一邊會贏的 positions。

這裡的難點不是公式，而是找到「哪些市場真的相關」。Polymarket 的市場描述是自然語言，而且 market 數量很大。若天真比較所有 condition combinations，複雜度會爆炸。

三、資料：market metadata 加 on-chain bid data

研究窗口涵蓋 2024 年 4 月 1 日至 2025 年 4 月 1 日 期間 resolved 的 Polymarket markets。作者從 Polymarket API 取得市場文字、end date、topic、condition 與 token metadata，並把市場分成 single-condition markets 與 NegRisk markets。

資料規模包括 8,659 個 single-condition markets、1,578 個 multi-condition NegRisk markets，合共 17,218 個 conditions。在 on-chain 端，作者查詢 Polymarket Conditional Token Contract 的 OrderFilled、PositionSplit 與 PositionsMerge events，覆蓋 2024 年 1 月 1 日至 2025 年 4 月 1 日 的 Polygon blocks。

這個設計有一個好處：它不是只看當下 order book snapshot，而是看歷史成交與實際 token movement。若要問「機會是否曾經存在」與「是否有人執行」，on-chain event data 是很重要的證據來源。

四、用 LLM 找市場之間的依賴

要找 combinatorial arbitrage，首先要知道哪些 markets 之間存在邏輯依賴。作者先用 Linq-Embed-Mistral 把 market questions 和 Polymarket topics 做 embedding matching，將市場分到 Politics、Economy、Technology、Crypto、Twitter、Culture、Sports 等類別。人工抽樣 100 筆驗證，topic 分類 accuracy 約 92%。

接著，作者只在同一 topic 和同一 end date 內比較市場 pair，以減少不相關組合。對於 market conditions，則使用 DeepSeek-R1-Distill-Qwen-32B 生成所有有效 truth assignments，判斷兩個市場是否獨立。

LLM 不是完美的。作者發現 condition 太多時容易失敗或產生 reasoning loop，所以會把流動性最高的前 4 個 conditions 保留，再用第五個 catch-all condition 表示其餘 outcomes。這個 reduction 不是任意刪除，而是基於一個觀察：超過 90% liquidity 通常集中在排名前幾的 conditions。

在 2024 美國大選相關的 Politics group 中，作者檢查 46,360 個 market pairs。最後人工核對後，找到 13 個符合其 strict Combinatorial Arbitrage definition 的 dependent pairs。這個數字不算大，但它說明一件事：跨市場嚴格套利並非到處都是，真正難的是把自然語言中的依賴關係準確抽出來。

五、單一 condition：最直接也最誇張的錯價

最基本的套利來自單一 condition 的 YES 與 NO 合計價格。作者在 17.2K conditions 中，找到 7,051 個至少有一次符合條件的套利機會，其中 2,628 個來自 NegRisk markets，4,423 個來自 single markets。

值得注意的是，觀察到的機會全部屬於 long arbitrage，也就是 YES + NO < 1。換句話說，市場有時會把同一 condition 的兩邊都報得太便宜。作者報告，這些機會的合計價格中位數約 0.60，代表理論折讓非常大。

這不等於任何人都能無風險拿到 40c 利潤。Polymarket 是 order book，買齊兩邊不是 atomic transaction；你可能只成交其中一腿，或者因深度不足、價格移動、延遲與資金限制而拿不到 paper 上的平均機會。但即使扣除這些限制，這種程度的錯價仍然顯示市場在高波動或低流動性區間可能非常不連續。

六、NegRisk market 內部：Sports 機會特別多

在多 outcome 的 NegRisk markets 裡，套利條件是所有互斥 outcomes 的 YES 價格合計偏離 1。作者在 1,578 個 NegRisk markets 中，找到 662 個至少有一次套利機會。

這類機會比單一 condition 更複雜，因為每個 outcome 的流動性不同。有些低概率尾部 outcome 幾乎沒有深度，實務上未必需要或能夠完整買齊。作者因此會用高於 2% probability 的 conditions 來估算可執行 volume，避免一個極薄尾部 outcome 決定整個估算。

研究結果有一個有趣現象：Sports markets 在 market-level opportunities 上很突出，尤其 long opportunities 很多。這和直覺有關。Sports 市場數量多、事件密集、資訊更新快，而且很多 outcome 在臨場或賽事期間急速變化，order book 較容易短暫失衡。

七、跨市場套利：嚴格機會少，但仍有人做到

跨市場 combinatorial arbitrage 的候選集中在 2024 美國大選。作者最後檢查 13 組 dependent pairs，其中 11 組 NegRisk-NegRisk pairs 和 2 組 NegRisk-Single pairs。

這些機會比單一 condition 或同一 market 內部更少，而且 liquidity 較低。paper 指出，不少跨市場機會的 average max profit 約只有 100 USD，反映它們多出現在較薄或短暫的市場狀態。

但「少」不等於「不存在」。作者在 11 組 pairs 中，有 5 組找到 value extraction evidence；其中幾組涉及 GOP presidential win margin、balance of power，以及 popular vote / presidency 的邏輯關係。這類機會對自動化監控很有啟示：真正有價值的不是只看同一頁 market，而是建立一個 event graph，把邏輯上互相約束的市場連起來。

八、到底有沒有人真的套利？

文中最有衝擊力的部分，是作者嘗試從使用者地址層面反推實際套利。作者把同一地址在一段時間窗口內的 buys、sells、splits 與 merges 連起來，估算是否構成一組套利 positions。為了管理資料規模，同時保留大部分價值，研究會過濾低於 2 USD 的 bids，並使用約 1 小時的 block window 聚合交易。

結果顯示，單一 condition arbitrage 中，買入低於 1 美元的兩邊 positions 合計利潤約 5.90M USD，另一類 selling-above-one 策略約 4.68M USD。在 single-market rebalancing 中，幾種策略合計更大，其中 buying NO positions 的估計利潤達 17.31M USD。

總計來看，作者估算所有呈現出的策略共抽取約 39.59M USD。最高利潤地址約 2.01M USD，且不少高排名地址有 bot-like behavior，交易筆數達數千次。這說明套利不是純理論現象，而是已被專業化地址系統性執行。

九、對監控系統的啟示

這篇 paper 對 prediction-market monitor 有三個直接啟示。

第一，只監控單一 outcome 價格不夠。系統應該同時計算 YES + NO、同一 NegRisk market 的 outcome sum，以及跨市場 implied constraints。很多錯價不是來自某一個價格絕對太高，而是來自一組價格加起來不合理。

第二，market dependency graph 是核心資產。若能把「總統大選勝負」、「popular vote」、「州份勝負」、「winning margin」、「balance of power」這些市場變成一張可查詢的 logical graph，monitor 才能自動發現 combinatorial opportunities。

第三，執行風險必須放入訊號本身。paper 找到的是 historical executed-bid-based estimate，不代表每個 signal 在當時都可以滿額成交。實務 monitor 至少要加入 bid-ask depth、order age、minimum order size、延遲、position cap、chain settlement、資金出入與合規限制。

十、限制與觀察

第一，LLM dependency detection 有 false positives，也會在複雜市場中出現 reasoning loop。作者用人工核對與 consistency checks 降低風險，但這仍然不是一個完全自動可信的 proof engine。若要 production 化，可能需要把 LLM output 轉成可驗證的 symbolic constraints。

第二，paper 聚焦「明確可保證」的套利。很多更弱的依賴沒有納入，例如 semifinal 和 final outcome 之間的時間依賴。這些可能不是 risk-free arbitrage，但對資訊交易與 fair value monitor 仍然重要。

第三，套利利潤估算依賴時間窗口、成交歸因與策略判定。作者的數字很有參考價值，但不應被解讀為完整的 PnL audit。地址可能有其他未觀察成本、外部 hedge 或多地址協同。

第四，研究窗口很受 2024 美國大選影響。Politics markets 的 liquidity、用戶結構和市場關係在那段時間特別密集；其他年份或其他平台如 Kalshi，可能呈現不同結構。

十一、總結

文中的核心訊息很清楚：prediction market 的價格不只是單點概率，而是一整組應該互相一致的 probabilistic constraints。當 YES/NO、多 outcome market 或語義相關 markets 之間沒有同步，套利者就有機會把錯價抽走。

對研究者和系統建設者而言，這篇 paper 的價值在於方法框架：用 market metadata 建 dependency candidates，用 LLM 和人工核對找 logical relations，再用 on-chain execution data 檢查機會與實際 extraction。對任何想做 Polymarket / HKJC / bookmaker / fair value monitor 的人來說，下一步不是只抓更多價格，而是把市場之間的「邏輯約束」也放進資料模型。

Reference

O. Saguillo, V. Ghafouri, L. Kiffer, G. Suarez-Tangil. Unravelling the Probabilistic Forest: Arbitrage in Prediction Markets. arXiv:2508.03474v1, 2025. https://arxiv.org/abs/2508.03474
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