世界盃抽籤不是純隨機：2026 FIFA World Cup Draw 的非均勻性

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世界盃分組抽籤看起來很簡單：幾個 pot、幾個玻璃碗、逐個波抽出來，最後得到 12 個小組。但對 2026 FIFA World Cup 這種 48 隊新賽制來說，「隨機」其實不是一件單純的事。

原因是抽籤不只要隨機，還要滿足一堆限制：每組必須有一隊來自每個 pot、同洲球隊要盡量分開、UEFA 每組至少一隊最多兩隊、三個主辦國已預先放入指定小組、四支最高排名球隊還要被放在不同 bracket 區域，避免太早相遇。

文章 On the non-uniformity of the 2026 FIFA World Cup draw 問了一個很細但很重要的問題：在所有合法分組之中，FIFA 的抽籤程序是否真的令每一個合法結果出現的機率相同？

答案是：不是。它保留了「抽波」的電視儀式感，也大致做得比很多替代方案好，但在數學上仍然會令某些隊伍配對比均勻抽籤更容易或更不容易出現。

本文重點

本文想解釋三件事。第一，為何有抽籤限制時，「合法分組」與「等概率分組」不是同一件事。第二，FIFA 常用的 Skip mechanism 為何會製造非均勻性，尤其在 2026 年 48 隊賽制下更難用普通模擬處理。第三，這篇 paper 如何用 integer programming 建立可行模擬，並比較官方程序與 47 個合理替代版本。

這不只是體育政策問題。對做 sports analytics、賽程模擬、賠率建模、tournament design 或公平性研究的人來說，抽籤程序本身就是一個概率生成器。如果生成器有 bias，下游模型、晉級機率、group of death 分析，甚至市場價格解讀，都會被它影響。

一、甚麼叫抽籤「非均勻」？

先分清兩件事。

合法分組 指的是滿足所有 FIFA 限制的分組。例如同一組不能有兩支 CONMEBOL 球隊，UEFA 每組不能超過兩隊，主辦國要在指定小組，四支最高排名隊伍要分散到不同 knockout pathway。

均勻抽籤 則是更強的要求：在所有合法分組之中，每一個合法結果都應該有相同出現機率。

這聽起來很自然，但現實抽籤程序未必做到。當你逐隊抽出來，再按規則跳過某些小組時，早抽、遲抽、pot 順序、小組標籤和預先分配，都可能改變後面還可行的空間。

換句話說，抽籤程序可以永遠產生合法結果，但仍然不是均勻的。

一個簡化比喻是：你要安排嘉賓入房，每間房不能有相同公司的人。你可以逐個抽名，再放入「第一間仍然可行的房」。這方法很透明，也通常能完成安排，但它未必等同於「所有合法房間配置等概率」。因為每一次「第一間仍然可行」都把房間標籤和之前的選擇帶進概率裡。

二、2026 世界盃抽籤為何特別複雜？

2026 年是首屆 48 隊世界盃，分成 12 組，每組 4 隊。每組各有一隊來自 Pot 1、Pot 2、Pot 3、Pot 4。

Paper 指出幾個使問題變難的因素。

第一，三個主辦國已預先分組：Mexico 在 Group A，Canada 在 Group B，United States 在 Group D。這不只是行政安排，因為 group label 本身連到 knockout bracket，所以它會影響後續可行性。

第二，Spain、Argentina、France、England 四支最高排名球隊要被分開：Spain 與 Argentina、France 與 England 要在不同 pathway；四隊也要落在不同 quarter。這令 Pot 1 抽籤不只是「一隊一組」，而是直接受到淘汰賽路徑限制。

第三，洲際限制更複雜。除 UEFA 外，同一組不能有多於一隊來自同一 confederation；但 UEFA 有 16 隊，所以每組至少一隊 UEFA，最多兩隊 UEFA。

第四，Pot 4 有未知的 play-off winner。尤其是 UEFA play-off winners 放在 Pot 4，但實力可能接近 Pot 2 或 Pot 3。這會令強隊特別想避開 Pot 4 的 UEFA placeholder，也令分組公平不只是一個形式問題。

這些限制疊在一起，令 2026 抽籤不是普通「抽樣」問題，而是 constraint satisfaction problem。

三、Skip mechanism 是怎樣運作？

Paper 指出 FIFA 2026 抽籤影片顯示實際使用的是 Skip mechanism。它的基本做法可以理解為：

先固定 pot 的抽籤順序；
逐隊從當前 pot 抽出；
嘗試放入字母順序最前、仍然可行的小組；
如果放入某組會令後面無法完成，就跳過該組；
重複直到所有隊伍分配完成。

這個程序的好處是容易向觀眾展示。抽波、放入小組、必要時 skip，電視上看起來合理。

但它的核心問題也在這裏：「第一個仍然可行的小組」不是一個中性的選擇。它依賴 group label、主辦國預置、pot 抽取順序，以及目前已經落位的隊伍。

Paper 用一個小例子說明：同樣的限制下，如果某隊預先放入 Group A，Skip mechanism 會產生非均勻結果；但如果這隊也是隨機抽出，結果可以變回均勻。這代表 group label 本身會進入概率結構。

對 2026 世界盃來說，Mexico、Canada、United States 的預先分組不只是「場地安排」，它也改變了各隊遇到不同 Pot 4 強隊的機率。

四、為何普通模擬會卡死？

如果想知道某兩隊同組的機率，直覺做法是寫一個 simulator，跑幾百萬次抽籤，然後統計配對頻率。

但 paper 指出，2026 版本對傳統 recursive backtracking 來說幾乎不可行。

原因在於有些早期分配看起來暫時合法，但到 Pot 3、Pot 4 才發現根本無法完成。特別是第二個 intercontinental play-off placeholder 可能來自 AFC、CONCACAF 或 CONMEBOL，因此它只能落在特定組合的小組中。若前兩個 pot 已經把空間堵死，後面要檢查所有可能排列才知道無解。

Paper 給出的數字很有感：

2026 無限制抽籤空間約為 9! * (12!)^3 ≈ 3.99 * 10^31
ex-post labelling 情境更可達 (12!)^4 ≈ 5.26 * 10^34
rejection sampler 約每 100 萬次才接受 1 次合法分組
生成 1 億個均勻合法分組，用 100 threads 跑了接近 11 天

更麻煩的是，某類死局在前兩個 pot 後出現的機率約為 0.2315%。這看似很小，但若你要跑一萬次抽籤，幾乎必然會撞到。撞到後，recursive backtracking 可能要檢查 Pot 3 與 Pot 4 的 (12!)^2 種排列，約 2.29 * 10^17 步。

這不是「程式寫得慢」的問題，而是問題結構本身要求更聰明的可行性檢查。

五、Integer programming 在這篇 paper 裏做甚麼？

作者把每一隊是否放入某一組寫成 binary variable：

x_i,g = 1 代表 team i 被分到 group g
x_i,g = 0 代表沒有

然後用一組 integer programming constraints 表達 FIFA 抽籤規則：

每隊只能出現一次；

每組必須各有一隊來自每個 pot；

除 UEFA 外，同一 confederation 每組最多一隊；

UEFA 每組至少一隊、最多兩隊；

四支最高排名隊伍要落在不同 pathway 和 quarter；

三個主辦國固定在指定小組。

這樣做的關鍵不是用 integer programming 直接找「最佳分組」，而是在 Skip mechanism 每一步問一個問題：

如果我現在把這隊放入這個小組，
剩下的隊伍是否仍然存在至少一個合法完成方式？

如果 IP solver 說可行，就照 Skip mechanism 放入；如果不可行，就跳過這個小組。這等於把「後面會不會死局」提前交給 solver 判斷，而不是等到後面才用 backtracking 爆炸式搜尋。

作者用 Gurobi 12.0，在每種抽籤程序下模擬 120 萬次。每一種程序平均約需 14 小時。

六、官方程序表現如何？

Paper 比較 48 種合理設計：官方版本加上 47 個替代方案。替代方案來自兩個方向：

不同 pot 抽取順序：四個 pot 有 24 種排列；

不同 group labelling policy：ex-ante 先標好 Group A 至 L，或 ex-post 抽完後再按需要命名小組。

作者設計了五個非均勻性指標，包括所有可同組隊伍配對機率的平均偏差、最大偏差、最大八個偏差的平均、涉及 Pot 4 UEFA teams 的偏差，以及 Pot 1 對 Pot 4 UEFA teams 的偏差。

官方順序是 1-2-3-4，即 Pot 1、Pot 2、Pot 3、Pot 4，並採用 ex-ante group labelling。結果其實不差：

官方程序在 M1（平均偏差）與 M3（最大八個偏差平均）最佳；
在 M2（最大單一偏差）與 M4（涉及 Pot 4 UEFA teams）也接近最佳；
某些錯誤 pot 順序會令 M1 翻倍，M2 甚至超過 20 個百分點；
但官方程序在 M5（Pot 1 對 Pot 4 UEFA teams）不是最佳。

換句話說，如果 FIFA 的目標是整體非均勻性最低，官方設計算是很合理。但如果目標是特別保護 Pot 1 強隊和主辦國，避免它們不公平地遇到 Pot 4 的強 UEFA placeholder，官方設計就有改進空間。

Paper 的結論很直接：官方程序在多數非均勻性指標上很難明顯改進，但它系統性地有利於 UEFA teams，並懲罰 Pot 1 的非 UEFA teams，包括三個主辦國。

七、幾個具體數字值得留意

最容易理解的例子是 Pot 1 球隊遇到 Pot 4 強隊的機率。

在官方 Skip mechanism 下，Mexico、Canada、United States 因為預先分配小組而受到不同對待。Paper 指出，Mexico 遇上 Pot 4 強對手的機率約為 4 * 19.3%，Canada 約為 4 * 18%，United States 約為 4 * 17.2%。

這三隊同為主辦國，但因為 group label 與 bracket 位置不同，機率並不相同。

另一個例子是 Argentina 和 Brazil。Paper 指出，非歐洲 Pot 1 隊伍，尤其 Argentina 和 Brazil，比均勻抽籤更容易遇上 UEFA play-off winners。原因是 Skip mechanism 在過程中只在必要時處理 UEFA 上限，而均勻抽籤則等於從一開始已「知道」Pot 4 有四個 UEFA placeholder。

這些差距不是大到令賽事失去意義，但對公平性、賠率、晉級模型和 media narrative 都有實際影響。當你看到「某隊抽到死亡之組」時，應該問：那是運氣，還是抽籤程序讓某類結果本來就較容易發生？

八、為何 ex-post group labelling 有意思？

一個有趣建議是 ex-post group labelling。

現在做法是先定好 Group A、B、C、D 等，再把主辦國放入指定組。另一種做法是先抽出組合，然後再把 Mexico 所在小組命名為 Group A，把 Canada 所在小組命名為 Group B，如此類推。

這聽起來像文字遊戲，但在數學上有差別。因為如果 group label 不在抽籤過程一開始就固定，Skip mechanism 對小組標籤的敏感性可以下降。

Paper 發現，ex-post labelling 可降低最大偏差，也能讓三個主辦國遇到 UEFA play-off winners 的機率更接近。不過它也會令整體平均偏差 M1 上升約 20%。所以它不是無條件更好，而是取決於 FIFA 想優先優化哪種 fairness。

若目標是降低 Pot 1 對 Pot 4 UEFA teams 的不公平，配合某些 pot 順序，例如 2-3-4-1 或 3-2-4-1，M5 可以減少超過一半。但代價是其他指標變差約 25% 至 30%。

這正是 tournament design 的難處：公平不是單一數字，而是一組 trade-off。

九、對 sports analytics 和賠率模型有甚麼啟示？

對賽程模擬來說，這篇 paper 的第一個啟示是：不要把官方抽籤當成均勻抽籤。

如果模型要估計某隊分組難度、晉級機率、可能對手或賽程路徑，抽籤程序本身要被正確模擬。否則你可能以為自己在估計「公平抽籤下的機率」，實際上卻混入了官方 Skip mechanism 的偏差。

第二個啟示是：constraint-heavy randomization 需要工程級可行性檢查。

很多 sports simulation 用簡單 rejection sampling 或 backtracking 已經夠用。但當限制數量增加，且有未知 placeholder、洲際限制、host assignment、bracket balancing 同時存在時，普通方法會突然失效。這時 integer programming、SAT solver 或其他 constraint solver 不是「過度工程」，而是必要工具。

第三個啟示是：市場可能低估抽籤程序 bias。

如果投注市場、prediction market 或 media model 只用「均勻合法抽籤」做 baseline，便可能錯估某些 pairings 的先驗機率。對低 margin 的 outright、group qualification 或 route-to-final 市場來說，幾個百分點的路徑差異可以很重要。

十、這篇 paper 的價值

這篇文章的貢獻不在於說 FIFA 抽籤「有黑幕」。相反，它很清楚地展示：即使所有規則公開、程序透明、每一步都按規則做，最終概率仍然可以非均勻。

它真正想指出的是，體育抽籤已經不再是簡單儀式，而是一個有明確 objective function 的機制設計問題。

官方 2026 抽籤程序整體上表現不差，甚至在多個指標上是最優或接近最優。但如果 FIFA 在意的是不同層面的公平，例如主辦國是否被同等對待、Pot 1 非 UEFA 強隊是否承擔過高 Pot 4 風險、或最極端 pair probability 是否被壓低，就需要明確說出目標，並用數學工具比較替代方案。

最值得帶走的一句話是：「合法隨機」不等於「均勻隨機」。

對世界盃這種全球最大體育賽事來說，這個差別足以影響球隊路徑、模型預測、球迷敘事與市場價格。

Reference

L. Csató, M. Becker, K. Devriesere, D. Goossens. On the non-uniformity of the 2026 FIFA World Cup draw. arXiv:2602.21029v1 [stat.AP], 24 Feb 2026. https://arxiv.org/abs/2602.21029
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