市場價格有多接近勝率？從 Kalshi 的收市前偏差到足球校準
兩張合約都以 40 美仙成交，一張距離收市兩小時，另一張只剩幾分鐘。以這個價格成交的合約，在兩個時段的實際勝率是否都接近 40%？
Niusha Moshrefi 在 2026 年 7 月 15 日提交的預印本 Prices, Probabilities, and Parlays: Systematic Bias in Sports Prediction Markets，用 Kalshi 的逐筆成交回答這個問題。研究另外把跨場串關的成交價，與各組成合約同期價格的乘積作比較。兩項分析分別關乎單場機率的校準，以及多場組合的定價。 arXiv 預印本
一、約 2,300 萬筆成交，觀察的是甚麼？
圖 1 按原文第 III-A 節重繪。同一場比賽可以對應多筆成交。
樣本涵蓋 2026 年 3 月初至 5 月中。剔除取消及作廢的市場後，NBA 有 13,009,643 筆成交，MLB 有 7,148,254 筆，NHL 有 2,819,289 筆。每筆紀錄包含合約、成交時間、成交價、成交量，以及由平台結算的勝負結果。價格以美仙表示，分析採用成交價，交易費另計。
單場分析針對 Moneyline，也就是指定球隊能否勝出的合約。每張勝出的合約支付 1 美元，否則支付 0 美元。把 40 美仙寫成 0.40，只是把價格轉到同一尺度。校準要看以接近 0.40 成交的合約，實際勝出的比例是否也接近 40%。
作者按價格分箱計算勝出頻率，擬合時按各箱的成交筆數加權。成交較密集的比賽，因此對曲線有較大影響。同一場比賽的多筆成交共用同一賽果，不能用成交筆數代替獨立比賽數，推斷不確定性時亦要保留這種相依關係。 原文第 III 節
二、研究用哪一個時鐘？
圖 2 原文以成交至合約收市的分鐘差分組。最遠一組沒有上限，360 分鐘只用作畫圖的位置。
原文的 Time to Expiry（TTE）等於交易所的合約收市時間減去成交時間。作者表示研究中的收市時間與比賽結束時間相符，並把它與其後的行政結算時間區分開。五組分別為 0 至不足 10、10 至不足 30、30 至不足 90、90 至不足 240，以及 240 分鐘或以上。
這個時鐘適合回顧歷史成交。足球的實際收市時間會受補時、暫停交易和平台規則影響，回測時宜把事後算出的 TTE 留作描述，並用當刻已知的比賽分鐘、比分及交易狀態做可部署的分組。距離開賽的時間則另設一條時間軸。 原文第 III-B 節
三、單場合約在哪些時段偏離得較明顯？
圖 3 點值抄錄自原文 Figure 2，虛線標示參數的參考值 1。Platt 的截距也會影響校準，斜率接近 1，仍須配合實際曲線判讀。
原文用兩種曲線描述成交價與勝出頻率的關係。對稱 power-law 的指數 γ 等於 1 時，整條曲線回到對角線。Platt scaling 對價格的 log-odds 作線性變換，斜率 a 等於 1 且截距 b 等於 0 時，才對應完全校準。對稱 power-law 相當於把 Platt 截距固定為零，兩組估計同向可以作為擬合形狀的互相核對。
最接近收市的一組，三個聯賽的 γ 約為 1.27 至 1.31，Platt 斜率約為 NBA 1.62、MLB 2.05、NHL 4.56。原文的 NHL 分箱圖顯示，距收市 30 至 240 分鐘的兩組較貼近對角線。較遠時段的結果有聯賽差異，例如 MLB 最遠一組的 Platt 斜率約為 0.49。
作者另外比較以 log(TTE) 作解釋變數的一次及二次擬合。AIC 和 BIC 偏向二次式，但每條軌跡只有五個組別估計值。這項比較主要描述曲線形狀，是否適用於其他球季或足球，需要獨立的留出樣本驗證。 原文第 IV-A 至 IV-C 節
四、收市前十分鐘，NHL 的曲線為何特別陡？
圖 4 按原文 Figure 4 的 α、β 重繪擬合曲線。
NHL 最接近收市的一組，部分約 10 至 40 美仙的價格箱勝出頻率接近零，其後在價格中段急升。作者以 Prelec-II 曲線擬合經 isotonic 平滑的經驗曲線。在 0 至不足 10 分鐘一組，NBA、MLB、NHL 的 α 分別為 1.516、1.744、4.669。NHL 的轉折最陡。曲線的位置亦受 β 影響，單看 α 不能得出某個價格的修正值。
作者提出，持有落後一方合約的交易者可能在尾段買入相反一方作對沖。流動性撤走、尾段入場者組成改變，以及交易者跟隨場上局勢，同樣可以形成類似的價格形態。論文沒有可辨認交易者持倉及動機的資料，對沖屬解釋之一。 原文第 IV-D 節
五、串關的比較基準怎樣配對？
圖 5 依原文第 V-A 節整理。每項單場價格取自串關成交當刻或之前的最近一筆合資格成交。
串關（Parlay）要多項結果同時成立。作者取 2026 年 4 月 29 日至 5 月 13 日的串關成交，逐項配對最近的單場合約成交。每一項都須在串關成交前 300 秒內有價格。可算出價格乘積的 153,173 筆成交，再按跨場及每項距收市 30 至 240 分鐘的條件篩選，留下 12,639 筆，組合涵蓋 2 至 11 項。
將每項單場成交價相乘，便得到論文用來比較的獨立乘積。作者以串關成交價除以這個乘積，所得倍數 R 大於 1，表示成交價高於乘積。要把乘積讀成聯合勝率，仍須假設各項機率適用，且各項結果可視為獨立。跨場篩選減少同場事件的相依，跨場比賽之間仍可能有共同因素，成交時間也容許最多 300 秒的差距。 原文第 V-A 節
六、多幾項，價差增加多少？
圖 6 依原文 Table I 重繪。R 等於 1 代表成交價與獨立乘積相同，下方列出各組成交筆數。
組合項數 | 成交筆數 | R 中位數 |
2 | 5,846 | 0.991 |
3 | 3,111 | 0.995 |
4 | 1,523 | 0.999 |
5 | 928 | 1.005 |
6 | 584 | 1.013 |
7 | 371 | 1.037 |
8 | 140 | 1.066 |
9 | 67 | 1.105 |
10 | 57 | 1.223 |
11 | 12 | 1.305 |
二至四項的中位數接近 1，整體中位數為 0.996。較長組合的中位倍數較高，成交筆數也急跌。十一項組合的 R 中位數為 1.305，表示逐筆成交價相對各自獨立乘積的溢價中位數約為 30.5%。該組只有 12 筆成交，這個相對價差與勝率相差 30.5 個百分點是兩種不同的量度。
原文另報告以項數回歸對數中位倍數，每多一項約增加 3%。用 Table I 顯示的十組中位數作等權重重算，斜率約為 0.028，方向與原文一致，但 R² 約為 0.79，與文中約 0.94 不符。本文以逐組中位數和筆數呈現結果，不把每項增幅當成固定的修正值。 原文第 V-B 節及 Table I
作者亦用實際賽果畫出串關本身的校準曲線，兩週的平滑曲線在大部分顯示區間低於對角線。Figure 6 的兩週標示樣本為 185,776 及 247,344 筆，與 Table I 的 12,639 筆篩選樣本有別。原文沒有清楚交代兩者如何銜接，因此本文分開解讀。前者描述成交價與結果頻率，後者比較成交價與單場價格乘積。具體價差來自平台定價、共同因素或交易者需求，現有資料仍難分辨。 原文第 V-C 至 V-D 節
七、AIP 可以先做一次低成本校準檢查
圖 7 本文建議的足球取樣方案。賽前用距離開賽時間，即場用當刻可見的比賽狀態。
第一輪先選資料較完整的聯賽、來源和 90 分鐘主和客市場。賽前固定在開賽前 24 小時、6 小時、1 小時及 15 分鐘取樣，每場每個截面取當時或之前最近的合資格報價。先定可接受的報價時效，並記下缺價和停牌的場次。賽前各截面同時報告覆蓋率，以及同一批比賽的配對結果，以免樣本組成不同被誤讀成時間效應。
即場用當時已知的比賽分鐘與比分分組。可先分上半場、下半場前段和下半場尾段，再看領先、打和或落後的情況。若有入球或紅牌後的暫停交易，先定義重開後何時重新取樣。成交價、買賣中間價與莊家賠率有不同含義，應按來源分開。以十進制賠率作主和客基線時，可先將三項賠率倒數正規化，再評估校準。
八、先看樣本外校準，再決定是否加入 AIP
圖 8 本文提出的驗證順序。先量度原始市場機率，再評估分時段校準的額外效果。
對 AIP，這篇論文最直接的用途是把市場機率按時段審視。先畫主勝、和局、客勝的可靠度圖，並列出各價格箱的比賽數、Brier score 和 log loss。估計區間時按整場比賽作 bootstrap，同一場的多個時間截面及三個賽果機率一併重抽。比較校準前後的分數，也用同場配對差值。若相鄰賽期仍有明顯相依，可再用按賽周分塊作敏感度檢查。
以較早的比賽擬合全時段與分時段的校準模型，再以較後的比賽比較兩者與原始機率。主和客的校準輸出須合計為 1。先用樣本較多的時段，稀疏的尾段可合併分組。若分時段校準能在多個留出時段改善結果，再評估是否加入 AIP 的市場機率輸入。 AIP 系統
這項 P0 工作先交付按時段的校準圖、樣本覆蓋率和按比賽分組的區間。足球尾段偏差的方向與大小，由足球樣本本身決定。串關定價可另作分析，沿用其獨立乘積比較所需的假設及配對檢查。
Reference
Moshrefi, N. (2026). Prices, Probabilities, and Parlays: Systematic Bias in Sports Prediction Markets. arXiv:2607.14430v1。文中涉及原文數據的圖表依其表格、圖及公式重繪，原文採用 CC BY 4.0。
